Модель Томаса Мальтуса описывает размножение популяции со скоростью, пропорциональной его численности:
где k — разность между коэффициентами рождаемости и смертности.
Интегрируя, получаем:
- где P0 — численность популяции в момент времени t=0. Данное уравнение называется уравнение экспоненциального роста. Полагая k>0, мы получим естественный прирост:
График 1
Полагая k<0 — убыль населения:
График 2
Но что будет, если для этой модели ввести зависимость от каких-либо параметров? Например, если рассматривать мир животных, известно, что одни животные питаются травой и всем, что растёт на земле, т. е. являются травоядными. Но ведь есть и такие животные, которые питаются другими животными. Тогда как будут меняться популяции тех и других? В этом случае модель стоит рассматривать как модель типа «хищник-жертва» .
Впервые математическая модель «хищник-жертва» была получена А. Лоткой (1925 г.), который использовал её для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии.
Обозначим за x количество травоядных животных (жертвы), а за y — количество плотоядных их собратьев (хищники).
Рост популяции жертв (например, кроликов) будет соответствовать модели Мальтуса, т. е. рост будет экспоненциальным в отсутствии хищников (например, лис).
Если же не будет кроликов, то популяция лис будет нулевой, поскольку им будет нечем питаться. В соответствии с этими выводами и обозначениями, можем записать систему дифференциальных уравнений, выражающую популяции обоих видов:
Данная система называется системой Вольтерра-Лотки. В ней:
- a — скорость роста численности травоядных в отсутствие хищников;
- b — скорость сокращения численности плотоядных в отсутствие травоядных;
- p и q — скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, и скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции.
Знак минус в первом уравнении показывает, что встречи сокращают популяцию жертвы, а знак плюс во втором говорит о том, что встречи увеличивают популяцию хищника.
Операционный процесс встречи регистрации приема гостя
... приемов и способов оказания услуг. Технологический цикл – это последовательное повторение процесса обслуживания гостя от момента его прибытия в отель до окончательного отъезда. Рассмотрим этапы технологического цикла: бронирование, встреча, регистрация ... разработанных методических рекомендаций для улучшения работы персонала службы приема и размещения отеля. Структура работы состоит из введения, двух ...
Из уравнений видно, что любое изменение в численности травоядных влияет на численность плотоядных и наоборот, поэтому две популяции нужно рассматривать вместе.
Если популяция травоядных увеличивается, вероятность встреч хищник—жертва возрастает, и, соответственно (спустя некоторое время), растет популяция хищников. Но рост популяции хищников приводит к сокращению популяции травоядных (также после некоторой задержки), что ведет к снижению численности потомства хищников, а это повышает число травоядных и так далее.
Положим в первом уравнении p=0, т. е. теперь Видим, что в отсутствии встреч с хищниками численность травоядных животных описывается моделью Мальтуса, т. е. растёт экспоненциально (15, https:// ).
Аналогичную операцию можно проделать и со вторым уравнением, положив q=0, получим Тут снова увидим, что отсутствие встреч с жертвами негативно влияет на популяцию хищников, она идёт на убыль.
Данные изменения численности хищников и жертв описываются графиками 1 и 2.
С помощью Maple построим графики развития популяций хищников и жертв.
Задаём систему Вольтерра-Лотки:
Зададим значения констант, положим их = 1:
Далее решаем систему, полагая, например, что жертв у нас в два раза больше, чем хищников, т. е. x (t) = 1, y (t) = 0.5.
Для того чтобы получить численности популяций, зададим время:
Получим:
Далее строим графики на основании этих данных:
График 3
На графике 3 популяция жертв обозначена красным, а популяция хищников — зелёным цветом, соответственно. Видно, что колебания популяции жертвы опережают колебания популяции хищника.
Теперь построим фазовую кривую данной системы, для этого обозначим на графике начальную точку (1,0.5):
Далее нарисуем фазовую кривую, изменяя параметр t в диапазоне от 0 до T, где T — период, определяемый по графику 3:
Получаем следующий график:
График 4
Фазовая кривая на графике 4 показывает нам поведение популяций хищников и жертв. Точка (1, 0.5) — наша начальная точка. При движении вправо возрастает численность жертв, возрастает почти экспоненциально, но раз возрастает количество жертв, значит, возрастёт и член qxy в системе Вольтерра-Лотки, который отвечает за взаимодействие жертвы с хищником. Далее, двигаясь на северо-восток, количество жертв x начинает уменьшаться, а количество хищников y — увеличиваться, поэтому кривая двигается вверх. Естественно, что чем больше хищников, тем меньше жертв, но, когда qx уравнивается, а затем становится меньше b во втором уравнении системы, рост поголовья хищников начинает снижаться.
Из графика 4 ясно, что модель имеет циклический характер и определённый период. Тенденция графиков 3 и 4 заключается в том, что рост поголовья хищников следует за ростом поголовья жертв.
Также можем построить фазовый портрет, который отображает поведение модели «хищник-жертва» :
Использование свободного программного обеспечения для обучения векторной графике
... всех ПК, используемых в ОУ, в качестве альтернативы зарубежным коммерческим лицензионным программным продуктам. Однако создание и внедрение ПСПО решает задачи обеспечения образовательного учреждения ... сформировать у учащихся целостного представления о технологии обработки объектов векторной графики. Таким образом, актуальность данного исследования определяется необходимостью разрешения противоречием ...
График 5
2. Практическая часть
Практическая часть моей курсовой работы состоит в рассмотрении случая «хищник-две жертвы», решении уравнения, построении графиков и фазовых кривых, отображающих поведение популяций хищников и жертв.
Зададим систему дифференциальных уравнений, соответствующую поставленной задаче:
Система 1
Зададим эту систему в Maple и решим, полагая все константы = 1 и указав некоторые начальные условия:
Далее зададим время и построим график:
График отображает поведение популяций хищников и жертв.
Теперь решим ещё несколько подобных систем дифференциальных уравнений, имеющих разные начальные условия, т. е. проделаем аналогичную работу, после чего построим фазовые кривые на трехмерной координатной плоскости, где оси соответствуют x1(t), x2(t), y (t) — популяциям жертв и хищников. В итоге получаем семейство фазовых кривых:
График 6
На графике 6 наблюдаем цикличность. Пояснить график 6 можно таким образом: при взаимодействии двух популяций жертв с популяцией хищника и в отсутствии каких-то других факторов, влияющих на численность тех и других, одна из популяций жертвы всегда полностью вытесняет другую. Победителем такого вытеснения является популяция жертв, которая может обеспечить более высокую стационарную плотность популяции хищника.
1. Лекции по дисциплине «Математическое моделирование в естествознании и экологии»
